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Sistemi lineari: interpretazione geometrica

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Il punto della situazione

Informazioni generali

Interpretazione grafica delle soluzioni di un'equazione lineare.
Interpretazione grafica di sistemi lineari.

Saper distinguere fra variabili e coefficienti.
Saper visualizzare graficamente le soluzioni di un'equazione lineare in due incognite.
Saper riconoscere le condizioni di risolvibilità di un sistema di due equazioni in due incognite.
Saper interpretare graficamente le soluzioni di un sistema lineare.

Concetto di funzione y=f(x).
Rappresentazione del piano cartesiano attraverso coppie ordinate di punti, equazione della retta, sua rappresentazione nel piano cartesiano.
Saper riconoscere l'appartenenza di un punto ad una retta.
Saper risolvere equazioni di primo grado.

Coefficiente angolare

Il coefficiente angolare m di una retta di equazione y=mx+q è un parametro che ci dà molte informazioni sulla retta stessa. Esso rappresenta l'inclinazione della retta verso il semiasse positivo dell'asse delle ascisse. Più tale coefficiente diventa grande più la retta considerata forma con il semiasse positivo delle ascisse un angolo sempre maggiore avvicinandosi sempre più all'asse delle ordinate.

Se m > 0 la retta è inclinata positivamente cioè forma un angolo 0° < < 90° con il semiasse positivo dell'asse delle ascisse.

Se m < 0 la retta è inclinata negativamente cioè forma un angolo 90° < < 180° con il semiasse positivo dell'asse delle ascisse.

Se m = 0 si otterrà una retta parallela all'asse delle ascisse.

In un sistema di assi cartesiani è tracciata in rosso una retta che non passa per l'origine degli assi. Sulla retta sono presi i punti A e B. Da questi punti si tracciano le parallele agli assi, in questo modo si forma un triangolo rettangolo e si indica con alpha l'angolo in A che la retta forma con la parallele all'asse delle ascisse

In un sistema di assi cartesiani è tracciata in rosso una retta che non passa per l'origine degli assi. Sulla retta sono presi i punti A e B. Da questi punti si tracciano le parallele agli assi, in questo modo si forma un triangolo rettangolo e si indica con alpha l'angolo in A che la retta forma con la parallele all'asse delle ascisse

Il coefficiente angolare di una retta passante per l'origine del sistema di assi coordinati è dato semplicemente dal rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di uno qualsiasi dei suoi punti. Per una retta generica, invece, date le coordinate cartesiane di due punti A(x_A; y_A) e B(x_B; y_B) ad essa appartenenti, si può calcolarne il coefficiente angolare mediante la relazione: m uguale yb meno ya fratto xb meno xa

In un sistema di assi cartesiani sono disegnate infinite rette, tutte colorate, che si incontrano tutte nell'origine degli assi. Vicino ad ogni retta è scritta la sua equazione. Si può notare che il variare dell'equazione della retta dipende dall'angolo che essa forma con l'asse delle ascisse

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Equazione

Uguaglianza fra due espressioni, almeno una delle quali contenga una o più variabili.
Risolvere un'equazione significa determinare, se esistono, i valori numerici che rendono vera l'uguaglianza

Etimologia della parola:
Dal Latino:
aequationem = uguaglianza. Uguaglianza fra due entità.

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Coppia ordinata di numeri

Insieme di due elementi dati in ordine stabilito; per rimarcare tale caratteristica si dice appunto coppia "ordinata". Quando non si dà l'ordine si sta parlando di "paio" (insieme formato da due elementi senza un preciso ordine).

Etimologia della parola:
Dal Latino:
Copula: legame congiunzione. Ordo (accusativo: ordinem): maniera di andare, di procedere, a sua volta composto dalla radice or che si trova anche in orior (nasco) e ordior (comincio).

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Numeri reali

Sono definiti in modo intuitivo come i numeri che sono in corrispondenza biunivoca con i punti su una retta. Il termine "numero reale" è stato coniato in contrapposizione a "numero immaginario". I numeri reali possono essere razionali (2/3) o irrazionali ( radice quadrata di 2

); positivi (+ 5), negativi (- 4) o zero. L'insieme di tutti i numeri reali si indica con R.

Etimologia della parola:
Dal Latino barbarico:
Realem: a sua volta derivante da res (cosa) e quindi oggetto che esiste, sostanza, verità.

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Riferimento cartesiano ortogonale xOy

Si definisce riferimento cartesiano ortogonale nel piano l'insieme di due rette:

Una prima retta orientata x (detta asse delle ascisse) sulla quale sia fissato un punto O detto origine degli assi e un'unità di misura u.

Una seconda retta orientata y (detta asse delle ordinate), perpendicolare alla prima in O (origine anche della seconda retta) e tale che l'angolo xOy sia retto.

Se l'unità di misura sulla retta y è la stessa della retta x, il sistema si dice monometrico.

Se l'unità di misura sulla retta y è diversa da quella della retta x, il sistema si dice dimetrico

Etimologia della parola:
Cartesiano: relativo al matematico Cartesio. Sinonimo di logicamente razionale, chiaro senza ombra di dubbio.

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Retta

Termine primitivo in geometria razionale, quindi non definibile.
In geometria analitica si definisce retta il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che con le loro coordinate verificano una equazione di primo grado del tipo ax+by+c=0 con a e b non contemporaneamente nulli.

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Sistema lineare

Si dice sistema un insieme di equazioni. Un sistema di equazioni è caratterizzato:

dal numero delle equazioni;

dal numero delle incognite;

dal grado.

Se tutte le equazioni che compongono un sistema sono algebriche, si dice grado del sistema il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono.

Un sistema lineare è un sistema che ha grado uno, come ad esempio sistema di grado uno, composto dalle equazioni: 2x meno 3y uguale 1 e 8x meno 2y uguale 7

sistema di grado uno, composto dalle equazioni: 2x meno 3y uguale 1 e 8x meno 2y uguale 7

, costituito quindi da equazioni tutte di grado uno.

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Rette incidenti

Due rette appartenenti allo stesso piano si dicono incidenti quando hanno un solo punto in comune. In geometria analitica: quando esiste un solo punto le cui coordinate soddisfano entrambe le equazioni delle rette.

Etimologia della parola:
Incidenti: da incidere, participio passato incisus, tagliare.

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Sistema determinato

Un sistema si dice determinato se ammette un numero finito di soluzioni.
Un sistema lineare di n equazioni in n incognite si dice determinato se ammette n soluzioni

Etimologia della parola:Da determinare: participio passato di determinare composto da de + terminus indicare con precisione, definire, stabilire.

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Rette parallele

Due rette appartenenti allo stesso piano si dicono parallele se non hanno punti in comune, cioè si mantengono sempre la stessa distanza fra loro. In geometria analitica due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.

Etimologia della parola:
Parallelo: parallelos da para presso al lato, rimpetto.

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Sistema impossibile

Un sistema si dice impossibile quando è senza soluzioni, l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto.

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Rette coincidenti

Due rette appartenenti allo stesso piano si dicono coincidenti se hanno due o più punti in comune. In geometria analitica:le rette hanno la stessa equazione.

Etimologia della parola:
Coincidenti: cum + incidere, cadere sopra o dentro.

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Sistema indeterminato

Un sistema si dice indeterminato quando ammette infinite soluzioni. Ciò accade quando le equazioni che compongono il sistema sono tutte equivalenti. L'insieme delle soluzioni, in tale caso è uguale all'insieme di soluzione di ogni equazione.

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Ordinata all'origine

Data l'equazione generica della retta y=mx+q, q è detta ordinata all'origine in quanto è l'ordinata del punto Q di intersezione della retta con l'asse delle y.

Se q=0 si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine degli assi.

In un sistema di assi cartesiani xOy è tracciata una retta r di equazione y=mx+q e la sua parallela r' di equazione y=mx che passa per l'origine degli assi. Si traccia l'asse x' parallelo all'asse delle x che passa per il punto d'intersezione tra la retta r e l'asse delle y; questo punto è chiamato O'(0;q), che ha quindi distanza q dall'origine degli assi. Si può notare che la distanza tra qualsiasi punto della retta r e r' è sempre q essendo le due rette parallele

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Equazione lineare in due incognite

Rita e Marta sono due sorelle, posso stabilire quanti anni ha Marta sapendo che insieme ne hanno 21?

Indichiamo con x gli anni di Marta e con y quelli di Rita la situazione del problema può essere descritta dalla seguente Vai al glossario

equazione in due incognite: x+y=21

Quante coppie di numeri possiamo trovare la cui somma è 21?

Infinite coppie, basta che assegniamo un valore alla x ne troviamo uno corrispondente per la y (y=21-x).

"L'espressione ax+by=c è un'equazione in due incognite x, y di primo grado ed è detta lineare. Si chiama soluzione dell'equazione lineare una coppia ordinata di numeri reali (x₁; y₁) che sostituiti rispettivamente alle incognite x e y, soddisfano l'equazione stessa."

Rappresentazione equazione in due incognite

Data l'equazione lineare 2x-y=6 è possibile costruire una tabella di coppie ordinate soluzioni dell'equazione, assegnando un valore alla x e trovando il corrispondente della y:
y=2x-6

Riportando le coppie soluzioni in un Vai al glossario

riferimento cartesiano xOy, osserviamo che i punti ottenuti sono allineati e congiungendoli danno come immagine una Vai al glossario

retta.

x	y
1	-4;
2	-2
3	0
4	2
5	4
6	6

Possiamo quindi concludere che l'insieme S delle soluzioni di una qualsiasi equazione lineare è costituito da tutti i punti della retta nel piano la cui equazione esplicita è y uguale meno a fratto b moltiplicato x meno c fratto b

y uguale meno a fratto b moltiplicato x meno c fratto b

Sistemi lineari

Aggiungiamo un'ulteriore informazione e riformuliamo il problema nel modo seguente: "La somma delle età di Marta e di Rita è 21 sapendo che Rita ha il doppio degli anni di Marta qual è la loro età?"

Per risolvere il problema possiamo procedere così:

indichiamo con x l'età di Marta e con y quella di Rita;

impostiamo due equazioni lineari x+y=21 e y=2x

Riflettiamo!

Ciascuna delle due equazioni trovate ha infinite soluzioni.

Chiamiamo:

S₁ l'insieme delle soluzioni di x+y=21

S₂ l'insieme delle soluzioni di y=2x

Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani xOy questi due insiemi. Le due rette si intersecano in nel punto P(7; 14) ed è l'unico punto che esse hanno in comune. Cioè:
S₁ S₂={P}=(7; 14)

Abbiamo trovato l'unica soluzione che soddisfa entrambe le equazioni, che è pertanto la soluzione di sistema composto da due equazioni. Prima equazione: y meno 2x uguale 0; seconda equazione: x più y uguale 21

sistema composto da due equazioni. Prima equazione: y meno 2x uguale 0; seconda equazione: x più y uguale 21

che viene chiamato Vai al glossario

sistema lineare.

In un sistema di assi cartesiani sono disegnate le due rette di equazione y uguale 2x blu e y uguale 21 meno x rossa che si intersecano nel punto P (7; 14)

In un sistema di assi cartesiani sono disegnate le due rette di equazione y uguale 2x blu e y uguale 21 meno x rossa che si intersecano nel punto P (7; 14)

Dati non sufficienti

Questa pagina contiene un file multimediale.
Un carabiniere si accorge che a 100 metri da lui un ladro sta cercando di rubare un'automobile. Si mette subito a correre per raggiungerlo. Il ladro,però, si accorge del carabiniere e scappa. Il carabiniere riuscirà ad arrestare il ladro?

I dati a nostra disposizione sono insufficienti per stabilire se il ladro verrà o meno arrestato. Sappiamo solo che il ladro ha un vantaggio di 100 metri sul carabiniere, ma non conosciamo ad esempio qual è la velocità con cui si spostano.

Di seguito troverai diverse situazioni in cui si possono trovare il ladro e il carabiniere...

Dati non sufficienti

Un carabiniere si accorge che a 100 metri da lui un ladro sta cercando di rubare un'automobile. Si mette subito a correre per raggiungerlo. Il ladro,però, si accorge del carabiniere e scappa. Il carabiniere riuscirà ad arrestare il ladro?

I dati a nostra disposizione sono insufficienti per stabilire se il ladro verrà o meno arrestato. Sappiamo solo che il ladro ha un vantaggio di 100 metri sul carabiniere, ma non conosciamo ad esempio qual è la velocità con cui si spostano.

Di seguito troverai diverse situazioni in cui si possono trovare il ladro e il carabiniere...

Il ladro fugge con il bottino inseguito dal carabiniere

Il ladro nascosto dietro un muretto è riuscito a fuggire con il bottino al carabiniere

Il ladro è stato acciuffato dal carbiniere che ha così recuperato la refurtiva

Il ladro viene arrestato

Per poter scoprire se il ladro sarà arrestato possiamo procedere in questo modo:

indichiamo con y lo spazio che percorrerà il carabiniere e con x il tempo che impiegherà a percorrerlo. Se percorre 10 m in un secondo lo spazio percorso in un tempo x sarà y=10x;

indichiamo con y lo spazio che percorrerà il ladro e con x il tempo che impiegherà a percorrerlo. Se percorre 6 m in un secondo e tenendo presente che ha già percorso 100, metri lo spazio percorso in un tempo x sarà y=100+6x;

troviamo gli insiemi S₁ e S₂ delle soluzioni delle due equazioni, che sono rappresentati dalle due rette in figura;

troviamo la soluzione comune ai due insiemi: S₁ S₂={P}=(x₁; y₁). Le due rette sono incidenti e si intersecano nel punto P(25; 250) che è l'unica soluzione del sistema

Il sistema si dice Vai al glossario

determinato.

Il ladro sarà arrestato dopo 25 secondi di corsa.

In un sistema di assi cartesiani sono disegnate le due rette di equazione y uguale 10x blu e y uguale 6x più 100 rossa, che si intersecano nel punto (25; 250)

In un sistema di assi cartesiani sono disegnate le due rette di equazione y uguale 10x blu e y uguale 6x più 100 rossa, che si intersecano nel punto (25; 250)

Il ladro riesce a scappare

Se il ladro si accorge del carabiniere e scappa, ma stavolta percorrendo 10 metri in un secondo, vediamo come cambia la situazione:

Indichiamo gli spazi percorsi con y e i tempi con x , le due equazioni sono:

y=10x e y=100+10x
Il sistema da risolvere diventa: sistema di 2 equazioni: la prima equazione è y uguale 10x, la seconda equazione è y uguale 100 più 10x

sistema di 2 equazioni: la prima equazione è y uguale 10x, la seconda equazione è y uguale 100 più 10x

Gli insiemi S₁ e S₂ delle soluzioni delle due equazioni, sono rappresentati da due rette; le rette sono Vai al glossario

parallele. Non ci sono perciò soluzioni comuni S₁ interseca

S₂=Ø

Il sistema si dice Vai al glossario

impossibile.

Il ladro non sarà arrestato!

In un sistema di assi cartesiani sono disegnate le due rette di equazione y uguale 10x blu e y uguale 10x più 100 rossa, che sono parallele e quindi non hanno punti in comune

In un sistema di assi cartesiani sono disegnate le due rette di equazione y uguale 10x blu e y uguale 10x più 100 rossa, che sono parallele e quindi non hanno punti in comune

Il ladro è arrestato in ogni momento

Questa pagina contiene un file multimediale.
Un carabiniere sta aprendo la portiera di sinistra della sua macchina e si accorge che un ladro sta tentando di rubare proprio quella macchina. Si mettono a correre e tutti e due percorrono 10 metri in un secondo. Riuscirà il carabiniere ad arrestare il ladro?

Indichiamo gli spazi percorsi con y e i tempi con x , le due equazioni sono:

y=10x e y=10x
Il sistema da risolvere diventa: sistema di 2 equazioni: la prima equazione è y uguale 10x, la seconda equazione è y uguale 10x

sistema di 2 equazioni: la prima equazione è y uguale 10x, la seconda equazione è y uguale 10x

Gli insiemi S₁ e S₂ delle soluzioni delle due equazioni, sono rappresentati sempre da due rette ma questa volta le rette sono Vai al glossario

coincidenti. Il sistema ha infinite soluzioni: S₁ interseca

S₂=S₁=S₂.

Il sistema si dice Vai al glossario

indeterminato.

Il ladro sarà arrestato in qualsiasi momento!

Il ladro è arrestato in ogni momento

Un carabiniere sta aprendo la portiera di sinistra della sua macchina e si accorge che un ladro sta tentando di rubare proprio quella macchina. Si mettono a correre e tutti e due percorrono 10 metri in un secondo. Riuscirà il carabiniere ad arrestare il ladro?

Indichiamo gli spazi percorsi con y e i tempi con x , le due equazioni sono:

y=10x e y=10x
Il sistema da risolvere diventa: sistema di 2 equazioni: la prima equazione è y uguale 10x, la seconda equazione è y uguale 10x

Gli insiemi S₁ e S₂ delle soluzioni delle due equazioni, sono rappresentati sempre da due rette ma questa volta le rette sono Vai al glossario

coincidenti. Il sistema ha infinite soluzioni: S₁ interseca

S₂=S₁=S₂.

Il sistema si dice Vai al glossario

indeterminato.

Il ladro sarà arrestato in qualsiasi momento!

Due rette una rossa e una blu, sono coincidenti ovvero sono sovrapposte l'una all'altra è quindi visibile una solo retta.

Due rette una rossa e una blu, sono coincidenti ovvero sono sovrapposte l'una all'altra è quindi visibile una solo retta.

Quale forma preferisci?

Ogni sistema si può presentare in una delle seguenti forme:

dove a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ sono diversi da zero.

Le equazioni del sistema (2) sono nella forma y=mx+q che rappresenta l'equazione di una retta nel piano cartesiano. Dove:

i coefficienti angolari sono m₁=-a₁/b₁ e m₂=-a₂/b₂;

le ordinate all'origine sono q₁=-c₁/b₁ e q₂=-c₂/b₂.

Se le rette sono parallele, il sistema si dice impossibile perché non ammette soluzioni, S₁ S₂=Ø

Se e le rette sono coincidenti, il sistema si dice indeterminato perché ammette infinite soluzioni, S₁ S₂=S₁=S₂

Se m₁ m₂ ossia le rette sono incidenti, il sistema si dice determinato perché ammette come soluzione una coppia di numeri reali (x; y), S₁ S₂=(x; y) le coordinate del punto d'intersezione.