Matematica > Posizione di una retta rispetto a una circonferenza

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Posizione di una retta rispetto a una circonferenza

Informazioni generali

Posizione reciproca di retta e circonferenza nel piano cartesiano.
Punti d'intersezione tra retta e circonferenza.
Equazione della retta tangente alla circonferenza.

Saper individuare posizioni reciproche di rette e circonferenze nel piano.
Saper determinare l'equazione di una retta tangente a una circonferenza con il metodo più opportuno.

Operazioni nel piano cartesiano.
Equazione della retta e della circonferenza e operazioni con esse.
Calcolo della distanza tra due punti e della distanza punto retta.
Risoluzione di equazioni di secondo grado e di sistemi di equazioni di grado superiore al primo.

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Retta e circonferenza nel piano cartesiano

tre circonferenze con rette in posizioni diverse: secante, tangente, esterna

Nel piano una retta rispetto a una circonferenza può essere:

  • Vai al glossario secante se le due curve hanno due punti d'intersezione distinti
  • Vai al glossario tangente se hanno un solo punto di contatto
  • Vai al glossario esterna se non hanno punti in comune, non si intersecano

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Come si muovono?

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Retta e circonferenza si incontrano

Diverse intersezioni tra rette e circonferenze

Una retta e una circonferenza in un piano possono incontrarsi oppure no, come hai visto nella animazione.
Se la retta e la circonferenza sono poste in un piano cartesiano possiamo determinare, se esistono, le coordinate dei punti di intersezione tra le due curve.

Data l'equazione della circonferenza x2 + y2 + ax + by + c = 0 e quella della retta y = mx + q, per trovare soluzioni comuni dobbiamo risolvere il sistema sistema tra ics quadro più ipsilon quadro più a ics più bi ipsilon più ci uguale zero e ipsilon uguale emme ics più cu

Se sostituiamo la seconda equazione nella prima troviamo un'equazione di secondo grado in x:

(m + 1)x2 + (2mq + a + bm)x + q2 + bq + c = 0

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Come trovare le intersezioni

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado

(m + 1)x2 + (2mq + a + bm)x + q2 + bq + c = 0

dipendono dal valore che assume il suo Vai al glossario discriminante delta uguale bi quadro meno quattro a ci

  • Se è delta > 0 il sistema ha due soluzioni reali distinte, le due curve hanno due punti di intersezione P e Q quindi la retta è secante rispetto alla circonferenza.
    In un piano cartesiano quadrettato è disegnata una circonferenza che interseca gli assi e una retta che incontra la circonferenza in due punti P e Q. Un segmento h che indica la distanza della retta dal centro e un segmento r che indica il raggio della circonferenza 

  • Se è delta = 0 il sistema ha due soluzioni reali coincidenti, le due curve hanno un solo punto di intersezione P coincidente con Q quindi la retta è tangente rispetto alla circonferenza.
    In un piano cartesiano quadrettato è disegnata una circonferenza che interseca gli assi e una retta che incontra la circonferenza in un punto P coincidente con Q e quindi anche il segmento h che indica la distanza della retta dal centro e il segmento r che indica il raggio della circonferenza coincidono 

  • Se è delta < 0 il sistema non ha soluzioni reali, le due curve non hanno punti di intersezione quindi la retta è esterna alla circonferenza.
    In un piano cartesiano quadrettato è disegnata una circonferenza che interseca gli assi e una retta che è esterna alla circonferenza. Il segmento h che indica la distanza della retta dal centro e il segmento r che indica il raggio della circonferenza sono sovrapposti 

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Raggio e distanza

una circonferenza e una retta che passa per il suo centro e perpendicolare alla tangente 
Per trovare le coordinate dei punti comuni tra la retta e la circonferenza possiamo procedere in questo modo:

  1. calcoliamo il valore del raggio erre uguale radice di aperta tonda meno a mezzi chiusa tonda al quadrato più aperta tonda meno bi mezzi chiusa tonda al quadrato meno ci e le coordinate del centro ci di coordinate meno a mezzi e meno bi mezzi
  2. calcoliamo la distanza della retta dal centro della circonferenza: di uguale a numeratore valore assoluto di emme per aperta tonda meno a mezzi chiusa tonda meno aperta tonda meno bi mezzi chiusa tonda più cu tutto fratto radice di emme quadro più uno
  3. confrontiamo il raggio della circonferenza con la distanza della retta dal suo centro. Se:
  • r > d, la retta è secante la circonferenza
  • r = d, la retta è tangente alla circonferenza
  • r < d, la retta è esterna alla circonferenza

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Rette tangenti

Data l'equazione di una circonferenza ? e un punto P voglio trovare, se esistono, le rette tangenti alla circonferenza passanti per il punto.

  • Avrò due tangenti se il punto è esterno alla circonferenza.
    in un sistema di assi cartesiano una circonferenza in una posizione qualunque, da un punto P esterno ad essa sono tracciate due rette s (minuscolo), t (minuscolo) tangenti alla circonferenza nei punti S (maiuscolo) e T (maiuscolo). Il raggio disegnato in rosso è uguale alla distanza (verde) dal centro ad una delle rette 

  • Avrò una tangente se il punto Vai al glossario appartiene alla circonferenza.
    in un sistema di assi cartesiano una circonferenza in una posizione qualunque, da un punto P su di essa è tracciata una retta tangente alla circonferenza. Il raggio disegnato in rosso è uguale alla distanza (verde) dal centro alla rette 

  • Non avrò tangenti se il punto è interno alla circonferenza.
    in un sistema di assi cartesiano una circonferenza in una posizione qualunque, da un punto P interno ad essa sono tracciate due rette s (minuscolo), t (minuscolo) che intersecano la circonferenza nei punti S (maiuscolo) e T (maiuscolo). Il raggio disegnato in rosso è maggiore della distanza (verde) dal centro ad una delle rette 

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Rette tangenti condotte da un punto esterno

Data l'equazione di una circonferenza gamma ed un punto P voglio trovare, se esistono, le rette tangenti alla circonferenza passanti per il punto.
Se il punto P è  estero, cioè non appartiene alla circonferenza, posso procede seguendo uno dei seguenti metodi:

Primo metodo

  • Considero il Vai al glossario fascio di rette di centro P       y - y0 = m(x - x0)


  • Determino m in modo che la distanza della generica retta, dal centro della circonferenza, sia uguale al raggio.

Secondo metodo

  • Considero il sistema di secondo grado formato dall'equazione della circonferenza e dal fascio di rette passante per P.


  • Risolvo il sistema ed ottengo un'equazione di secondo grado detta equazione risolvente.


  • Pongo il discriminante dell'equazione risolvente uguale a zero.


  • Ottengo un'equazione con il parametro m come incognita.


  • Risolvo quest'ultima equazione e trovo i valori del parametro corrispondenti alle rette tangenti.

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Rette tangenti condotte da un punto appartenente alla circonferenza

Data l'equazione di una circonferenza gamma ed un punto P appartenente alla circonferenza voglio trovare la retta tangente alla circonferenza passanti per il punto.

Primo metodo

  • Considero il fascio di rette di centro P     y - y0 = m(x - x0)


  • Determino m in modo che la distanza della generica retta , dal centro della circonferenza, sia uguale al raggio.

Secondo metodo

  • Considero il sistema di secondo grado formato dall'equazione della circonferenza e dal fascio di rette passante per P.


  • Risolvo il sistema e ottengo un'equazione di secondo grado detta equazione risolvente.


  • Pongo il discriminante dell'equazione risolvente uguale a zero.


  • Ottengo un'equazione con il parametro m come incognita.


  • Risolvo quest'ultima equazione e trovo i valori del parametro corrispondenti alle rette tangenti.


Terzo metodo

  • Considero il fascio di rette di centro P     y - y0 = m(x - x0)


  • Essendo la tangente perpendicolare al raggio della circonferenza trovo il coefficiente angolare mpc della retta passante per P e per C, centro della circonferenza, e poi calcolo m ricordando la Vai all'approfondimento condizione di perpendicolarità emme uguale uno fratto emme di pi ci.

In un sistema di assi cartesiani è disegnata una circonferenza di centro A. Per il punto B della circonferenza passa la retta tangente (rossa) di equazione y uguale mx; per i punti A e B passa una retta (azzurra) perpendicolare alla retta passante per B di equazione y uguale aperta la parentesi tonda meno 1 fratto m chiusa la parentesi tonda x 

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Puoi trovare un'altra strada?

I punti appartengono?

Il discriminante

Trova la tangente

Come procedo?

Come trovare la tangente

La sua tangente

Hai imparato che...

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Commenti

Retta secante

Si chiama secante di una conica una retta che ha in comune con la conica due punti distinti.
Precisamente una retta r seca una curva C in un punto P, se P è un punto comune a r e a C e se con P non coincidono altri punti comuni a r e a C

Etimologia
Secantem è participio passato di se care, tagliare. Linea che taglia in più parti una curva

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Retta tangente

Una curva e diverse rette, tra cui una tangente Una retta r si dice tangente a una conica C se r e C hanno in comune due punti coincidenti.
Considero la retta PP' e, tenendo fisso P, sposto P' sulla curva C
La retta da secante diventa tangente quando il punto P' è esattamente sopra il punto P.
Una retta tangente a una curva ha con la curva due punti coincidenti comuni (si dice anche un contatto del secondo ordine)

Etimologia
Tangentem è participio presente di tangere (toccare, che tocca; in senso generale di linea che tocchi una curva)

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Retta esterna

Una retta r si dice esterna rispetto a una conica C se non ha punti reali comuni con essa.

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Condizione di appartenenza

In geometria analitica la condizione necessaria e sufficiente perché un punto appartenga ad un luogo f(x;y) = 0 è che l'ascissa e l'ordinata del punto, sostituite rispettivamente al posto della x e della y nell'equazione del luogo, rendano vera l'equazione.

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Discriminante o Delta

Si definisce discriminante delta (delta) il termine che si trova sotto radice nella formula risolutiva dell'equazione di secondo grado ics uno due uguale meno bi più o meno radice di delta tutto fratto due a, con delta uguale bi quadro meno quatto a ci

Si possono aver tre situazioni:

  • il discriminante è maggiore di zero: delta = b2 - 4 ac > 0. In tal caso si avranno due soluzioni reali e distinte
  • il discriminante è uguale a zero: delta = b2 - 4 ac = 0. In tal caso le due radici sono reali e coincidenti. Si ha una soluzione doppia che vale -b/2a. L'equazione di secondo grado è il quadrato di un binomio
  • il discriminante è minore di zero: delta = b2 - 4 ac < 0. In tal caso l'equazione non ammette soluzioni reali

Etimologia
Discriminante perché è il termine che discrimina, cioè rende differenti le soluzioni, infatti quando si estrae la radice una volta va sommato e una volta va sottratto, così si ottengono due valori diversi

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Verifica

Condizione di perpendicolarità

due rette tra loro perpendicolari Consideriamo due rette r e r' perpendicolari tra loro e non parallele agli assi. Le loro equazioni, in forma esplicita, saranno rispettivamente:

r : y = mx + q
r' : y = m'x + q'

dove m, m' sono discordi le relazioni: mm' = -1 o m' = -1/m, che esprimono la condizione di perpendicolarità tra rette in forma esplicita. Se le equazioni delle due rette sono in forma implicita, la condizione di perpendicolarità può scriversi nel modo seguente:
aa' + bb' = 0

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Fascio di rette

Un fascio di rette Un fascio è in generale una certa quantità di cose dello stesso tipo raccolte insieme ed in qualche modo  legate tra loro. In geometria un fascio di rette è un insieme di rette "legate" tra loro da una comune proprietà: passaggio per uno stesso punto (fascio proprio) o parallelismo (fascio improprio).
Un fascio di rette proprio è l'insieme di tutte le rette che passano per un punto   detto centro del fascio.
Per determinare l'equazione di tale fascio di rette considero il punto    generico di una retta qualunque del fascio.

Indico con  il coefficiente angolare della retta che considero, per ogni m diverso ho una retta diversa del fascio. L'equazione del fascio è y - y0 = m(x - x0).
Un fascio improprio è un insieme di rette che hanno tuttelo stesso coefficiente angolare, cioè sono tutte parallele: y = m0x + K.

Principali funzioni: Torna dall'approfondimento Fine dell'approfondimento. Per riascoltarlo torna al titolo.

Come si muovono?

una circonferenza di raggio quattro e centro di coordinate tre tre, con una retta che la taglia, e l'equazione della sua retta 

sono evidenziati anche i punti di intersezione, che per la retta di equazione ipsilon uguale meno uno ics più uno virgola otto sono di coordinate meno zero virgola novantanove due virgola settantanove e due virgola settantanove meno zero virgola novantanove 

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Riepilogo

Fine della pagina di uscita dal corso. Per riascoltarla torna al titolo.

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Due modalità di fruizione

Questo corso può essere usato in due modi completamente diversi:
  1. In modalità lezione, presenta innanzitutto tutti i contenuti didattici. A ciascuna pagina possono essere associate una o più esercitazioni di verifica, accessibili tramite un apposito pulsante.
  2. In modalità gioco, invece, tutto cambia: inizia una sfida della conoscenza che, se tutto va bene, porta a concludere con successo la missione. Ma, attenzione, se non si raggiunge un minimo di punteggio e se non si è fatto accesso alle pagine teoriche, non è possibile nemmeno arrivare alla domanda finale.
    In modalità gioco, le pagine teoriche sono raggiungibili solo a partire delle pagine di test.

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I comandi di navigazione

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I comandi per le prove di verifica

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  • Il percorso di verifica da affrontare.
Questo percorso è rappresentato da una sequenza di segnalini di diverso colore:
  • Segnalino gialloUn segnalino giallo indica il test che stai affrontando.
  • Segnalino rossoUn segnalino rosso indica un test che hai già affrontato.
  • Segnalino bluUn segnalino blu indica un test che devi ancora affrontare.

Pulsante 'Test' Il pulsante "Test", disponibile solo in "modalità lezione", collega a ciascuna pagina teorica i relativi test.

Pulsante 'Verifica' Il pulsante "Verifica" permette di controllare l'esito di un test e di assegnare i relativi punteggi.
Senza premere questo pulsante, il test non è considerato valido.

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In molti casi, la pagina collegata da questo pulsante varia a seconda dell'errore commesso (se sono stati commessi più errori, il sistema tiene conto del primo).
Pulsante 'Soluzione' Il pulsante "Soluzione" permette di conoscere le soluzioni dei test.
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Sfiorando col puntatore del mouse questa icona è possibile conoscere la risposta esatta.
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Visualizzando la soluzione i punti previsti per quel test saranno sottratti.

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Senza limiti.

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Il pulsante è attivo solo all'inizio del corso, fino a quando non si comincia a navigare per le diverse pagine.

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Tuttavia, alcuni brevi suoni particolarmente importanti (quelli che accompagnano i messaggi) sono sempre abilitati.

Le funzioni per l'accessibilità

Oltre agli accorgimenti previsti dalla normativa vigente (legge 4 del 2004), sono presenti molte funzioni per facilitare al massimo l'accessibilità dei contenuti.
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  • Per ogni pagina è sempre presente, anche quando non è visibile, un titolo di primo livello che consente di tornare velocemente a inizio pagina attraverso i comandi del lettore di schermo.
  • Sono presenti comandi nascosti per disattivare fin dall'inizio i componenti audio, video e le animazioni che potrebbero interferire con i lettori di schermo.
  • Anche quando sono disabilitati, i contenuti multimediali si possono attivare, pagina per pagina, con comandi nascosti che permettono di procedere solo dopo aver terminato l'esplorazione della pagina.
  • I pulsanti di navigazione sono replicati da comandi nascosti attivi nelle diverse pagine.
  • Per le pagine il cui contenuto essenziale è costituito da animazioni interattive (come i test che prevedono il trascinamento di oggetti, chiamati anche "drag and drop"), il sistema passa automaticamente alle pagine alternative se verifica che i contenuti multimediali sono disabilitati o se non è installato il plugin Flash.

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Credits

Licenza d'uso

Il presente Learning Object (LO) è di proprietè di Garamond Srl ed è concesso in licenza d'uso esclusivo al legittimo titolare, da intendersi come il singolo alunno della scuola selezionata dal Ministero della Pubblica Istruzione per il Progetto DIGI Scuola, per il quale la stessa scuola ha effettuato l'acquisto di una singola licenza, alle condizioni definite nel "Marketplace" della piattaforma web DIGI Scuola. Il titolare della licenza d'uso, così come sopra definito, ha facoltè di eseguirlo online nella "Piattaforma di fruizione" della piattaforma web DIGI Scuola, disponendo della sua fruizione senza alcun vincolo di tempo, di sessioni di studio o di sede di esecuzione domestica, scolastica o di altro tipo. Il titolare della licenza d'uso ha anche la facoltè di scaricare il presente LO sul proprio computer o di eseguirlo - online e offline - su di esso o su altre piattaforme della scuola che ha acquistato la regolare licenza, registrandosi sul sito web di Garamond "Curriculum Digitale" (http://www.curriculumdigitale.it).

Produzione editoriale


Garamond - Editoria e Formazione - Roma

Hanno collaborato

Progettazione didattica
Vindice Deplano

Ideazione e produzione storyboard e testi
Rosangela Mapelli

Coordinamento disciplinare
Licia Cianfriglia

Redazione
Paola Ricci e Paolo Pomes (coordinamento), Katia Azzinari, Claudio Bafera, Martina Quadrino, Stefano Tura

Progettazione e realizzazione grafica
Cristiana Giovannini

Animazioni
Elisistemi S.r.l. (coordinamento)

Audio, musiche ed effetti sonori
Luca De Carlo, Gio Gio' Rapattoni, Loquendo TTS (voce)

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