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Le frazioni algebriche


Tipo Learning Object
exercise

Materia
Matematica superiori

Argomenti
Definizione di frazione algebrica
Determinare il campo di esistenza di una frazione algebrica

Obiettivi
Saper riconoscere una frazione algebrica e determinare i valori che costituiscono il dominio della frazione algebrica

Prerequisiti
Le frazioni: proprietà e operazioni
Monomi, polinomi e operazioni con essi
Legge di annullamento di un prodotto

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Il concetto di frazione algebrica

Osserviamo le seguenti espressioni Vai al glossarioalgebriche:

  • tre ics alla seconda ipsilon alla seconda fratto due zeta ipsilon
  • il quadrinomio due ics alla seconda meno cinque ics ipsilon alla seconda più ipsilon alla seconda meno uno, fratto il prodotto tra tre ipsilon ed il binomio ics più quattro
  • tre ics alla seconda ipsilon alla seconda più quattro ics alla terza , tutto fratto due
  • cinque ics alla terza ipsilon meno due ics alla seconda più tre
  • cinque ics alla terza ipsilon alla quinta zeta fratto due

Come le possiamo definire?

  • tre ics alla seconda ipsilon alla seconda fratto due zeta ipsilon : è una frazione avente al numeratore e al denominatore un Vai al glossariomonomio
  • il quadrinomio due ics alla seconda meno cinque ics ipsilon alla seconda più ipsilon alla seconda meno uno, fratto il prodotto tra tre ipsilon ed il binomio ics più quattro : è una frazione avente al numeratore e al denominatore un vai al glossariopolinomio
  • tre ics alla seconda ipsilon alla seconda più quattro ics alla terza , tutto fratto due : è una frazione avente come denominatore un Vai all'approfondimentomonomio di grado zero
  • cinque ics alla terza ipsilon meno due ics alla seconda più tre : è un polinomio, ma rappresenta anche una frazione apparente: una frazione avente come denominatore il Vai all'approfondimentopolinomio unità
  • cinque ics alla terza ipsilon alla quinta zeta fratto due : è un monomio, ma rappresenta anche una frazione apparente perché ha al denominatore un monomio di grado zero

Possiamo quindi affermare che gli insiemi dei polinomi e dei monomi sono dei sottoinsiemi dell'insieme delle frazioni algebriche.

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Riconosci le frazioni algebriche

Individua le caratteristiche delle frazioni algebriche seguenti:

 

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Introduzione al campo di esistenza

Una frazione, sia essa numerica o algebrica, è un simbolo che indica l'operazione di divisione tra Vai al glossarionumeratore e Vai al glossariodenominatore.

La divisione non è definita quando il divisore è zero, infatti non è possibile trovare un quoziente tra due numeri o tra due espressioni, la seconda delle quali sia zero e la prima diversa da zero, che moltiplicato per il divisore zero dia come risultato il dividendo non nullo.

È chiaro quindi che per operare con le Vai all'approfondimentofrazioni algebriche bisogna avere la certezza che esistano sempre (siano cioè sempre definite), qualunque sia il valore che attribuiamo alle lettere che figurano al denominatore.

Per avere questa certezza dobbiamo controllare se esistono valori che annullano il denominatore.
Se esistono, dobbiamo escluderli.

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Riconosci le condizioni di esistenza

Individua le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche seguenti.

 

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Calcolo del campo di esistenza

Consideriamo la seguente frazione algebrica tre ics alla seconda meno due ics più uno, tutto fratto il prodotto tra i binomi ics meno cinque e ics più due

Il denominatore  prodotto tra i binomi ics meno cinque e ics più due è Vai all'approfondimentoscomposto  in fattori.

Applicando la legge di annullamento di un prodotto, il denominatore si annulla se si annulla almeno uno dei due fattori, cioè se:

ics meno cinque è uguale a zero o ics più due è uguale a zero

Poichè, inoltre, una somma algebrica è zero quando i due addendi sono opposti, le condizioni si trasformano come segue:

ics meno cinque è uguale a zero se ics è uguale a più cinque

ics più due è uguale a zero se ics è uguale a meno due

In conclusione, la frazione algebrica tre ics alla seconda meno due ics più uno, tutto fratto il prodotto tra i binomi ics meno cinque e ics più due ammette come Vai al glossariocampo di esistenza l'insieme dei numeri reali ics tali che ics diverso da meno due e ics diverso da più cinque

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Calcola l'esistenza delle frazioni

Associa il campo di esistenza corretto alle seguenti frazioni algebriche,
indicandolo con il numero corrispondente.



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Che cosa hai imparato?

Una frazione algebrica è un'espressione avente al numeratore e al denominatore polinomi o monomi.

Sono frazioni algebriche:

  • quattro ics alla quarta meno tre ics alla seconda più due ics meno cinque
  • il binomio due ics alla terza più sette ics, fratto il monomio due ics ipsilon
  • due fratto, il binomio ics alla seconda più tre ics

Per operare con le frazioni bisogna avere la certezza che esistano sempre,
qualsiasi valore si assegni alle lettere.

Per avere tale certezza bisogna determinare sempre il campo di esistenza,
cioè cercare gli eventuali valori che annullano il denominatore, ed escluderli
da quelli che si possono sostituire alle variabili presenti nella frazione algebrica

Per esempio, il binomio tre ics più uno, fratto il binomio due ics alla seconda meno tre ics
esiste se

Parole nuove
Vai al glossarioCampo di esistenza
Vai al glossarioPolinomio
Vai al glossarioMonomio
Vai al glossarioAlgebra

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Denominatore

In una frazione, che è un rapporto di due numeri interi, il denominatore è il secondo termine del rapporto ed indica in quante parti è divisa l'unità.

Etimologia
Denominatore deriva dal latino denominatorem (che denomina) da denominare (designare per nome).

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Numeratore

In una frazione, che è un rapporto di due numeri interi, il numeratore è il primo termine del rapporto ed indica quante delle parti in cui è suddivisa l'unità, indicate dal denominatore, si devono considerare.

Etimologia
Numeratore deriva dal latino tardo numeratorem (colui che conta), participio passato di numerare (contare).

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Campo di esistenza

Si dice campo di esistenza di una frazione algebrica l'insieme dei valori delle variabili in corrispondenza dei quali esiste finito il valore numerico della frazione algebrica.

Etimologia
Campo è termine di etimologia incerta, forse di origine italica, che indica "spazio chiuso, delimitato, area di azione o di competenza, settore circoscritto".
Esistenza deriva dal latino tardo exisestentia (realtà, qualità di ciò che esiste), da existere (esistere). 

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Polinomio

Si chiama polinomio un'espressione algebrica formata dalla somma di più monomi detti termini del polinomio.
Si dice che un polinomio è ridotto in forma normale quando non ha termini simili.

Etimologia
Polinomio è parola di origine greca, composta da polys (molto) e nomos (regola, legge).

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Monomio

Si dice monomio un'espressione algebrica costituita dal prodotto di più fattori numerici e letterali.
Il prodotto dei soli fattori numerici prende il nome di coefficiente numerico, il prodotto dei soli fattori letterali prende il nome di parte letterale del monomio.
L'unica operazione interna ammessa è la moltiplicazione.

Etimologia
Monomio deriva dal greco, ed è un termine composto da monos (solo, unico)  e nomos (regola, legge).

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Algebra

L'algebra è il ramo della matematica che studia il calcolo letterale e le equazioni algebriche, introducendo l'uso dei numeri negativi e complessi.

Etimologia
Algebra deriva dall'arabo al-giabr (ristabilimento, restaurazione).

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Campo di esistenza: generalizziamo

Se la frazione algebrica ha il denominatore non scomposto in fattori, come possiamo procedere alla determinazione dei valori che lo annullano?

Consideriamo la seguente frazione algebrica il trinomio quattro ics alla terza più due ics più tre è fratto il binomio ics alla seconda meno nove

Il denominatore è ics alla seconda meno nove

Scomponiamo il denominatore in fattori: il prodotto tra i binomi ics meno tre e ics più tre
I valori che annullano il denominatore sono ics uguale a meno tre e ics uguale a tre
Quindi la frazione esiste per ics diverso da meno tre e ics diverso da più tre

Dall'esempio possiamo dedurre che per calcolare il campo di esistenza di una frazione algebrica si deve procedere nel seguente modo:

  • verificare se il denominatore è scomposto in fattori primi
  • se non è scomposto in fattori primi, si procede alla scomposizione
  • si considerano i singoli fattori e si calcola per quale valore della lettera si annullano
  • si escludono tali valori ottenendo, il campo di esistenza della frazione considerata

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Monomio di grado zero

Un monomio avente la parte letterale con esponenti tutti nulli è detto monomio di grado zero.
Tutti i numeri reali possono essere considerati monomi di grado zero.
Accanto al numero potrebbe infatti essere considerato un qualunque fattore letterale di esponente zero.

Per esempio: due trentatreesimi ics alla zero ipsilon alla zero a alla zero è uguale a due trentatreesimi

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Definizione di frazione algebrica

Una frazione avente al numeratore e al denominatore polinomi e/o monomi, e nella quale il polinomio a denominatore non è nullo, è detta frazione algebrica.

Particolarità

Se nelle parti letterali appare solo una variabile la frazione algebrica si può indicare genericamente  pi di ics è uguale ad A di ics fratto bi di ics con bi di ics diverso da zero

Esempi di frazioni algebriche a una sola variabile sono:
  • tre ics meno uno fratto due ics alla seconda
  • il quadrinomio ics alla terza meno dodici ics alla seconda più ics meno quattro, fratto il binomio due ics alla seconda più tre ics

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Polinomio unità

Un polinomio avente la forma pi di ics uguale a uno è detto polinomio unità, perché composto dalla somma di monomi nulli e da un monomio di grado zero avente come coefficiente l'unità.

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Credits

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Il presente Learning Object (LO) è di proprietà di Garamond Srl ed è concesso in licenza d'uso esclusivo al legittimo titolare, da intendersi come il singolo alunno della scuola selezionata dal Ministero della Pubblica Istruzione per il Progetto DIGI Scuola, per il quale la stessa scuola ha effettuato l'acquisto di una singola licenza, alle condizioni definite nel "Marketplace" della piattaforma web DIGI Scuola.

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Produzione editoriale
Garamond Editoria e Formazione - Roma

Hanno collaborato

Progettazione didattica
Vindice Deplano

Ideazione e produzione storyboard e testi
Antonella Greco

Coordinamento disciplinare
Licia Cianfriglia

Redazione
Paola Ricci e Paolo Pomes (coordinamento), Katia Azzinari, Claudio Bafera, Mimma Basile, Martina Quadrino, Stefano Tura

Progettazione e realizzazione grafica
Cristiana Giovannini

Animazioni
Elisistemi S.r.l.(coordinamento)

Audio, musiche ed effetti sonori
Luca De Carlo, Gio Gio' Rapattoni, Loquendo TTS (voce)

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Indice generale

1 Il concetto di frazione algebrica
2 Riconosci le frazioni algebriche
3 Introduzione al campo di esistenza
4 Riconosci le condizioni di esistenza
5 Calcolo del campo di esistenza
6 Calcola l'esistenza delle frazioni
7 Che cosa hai imparato?
8 Esprimi le tue considerazioni

Principali funzioni: Torna indietro Fine dell'indice generale. Per riascoltarlo torna al titolo.