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Il teorema di Bayes

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Il punto della situazione

Informazioni generali

Argomenti
Probabilità condizionata;
Teorema di Bayes;
Speranza matematica, gioco equo.

Obiettivi
Comprendere la possibilità di correlazione tra eventi;
Determinare la probabilità che un evento sia determinato da una specifica causa;
Stabilire se un gioco è equo.

Prerequisiti
È necessario conoscere la classificazione degli eventi, la probabilità classica e l'evento unione ed intersezione, l'evento contrario.

Probabilità condizionata

Supponi di avere due eventi A e B appartenenti allo stesso universo U e non necessariamente Vai all'approfondimento

elementari.

Chiamerai probabilità di A condizionata B o di A subordinata a B, la probabilità di A supposto che si sia verificato B. In simboli:
p aperta la parentesi tonda a fratto b chiusa la parentesi tonda uguale a p aperta la parentesi tonda A intersezione di B chiusa la parentesi tonda tutto fratto p per B dove p per B è diverso da 0

p aperta la parentesi tonda a fratto b chiusa la parentesi tonda uguale a p aperta la parentesi tonda A intersezione di B chiusa la parentesi tonda tutto fratto p per B dove p per B è diverso da 0

un riquadro rosso rappresentante l'insieme A interseca un riquadro blu rappresentante l'insieme B, la zona di intersezione è evidenziata in verde

Dunque se b sono i casi favorevoli al verificarsi dell'evento B e h sono quelli favorevoli a verificarsi dell'evento A intersezione

B, la probabilità di A condizionata a B risulta essere p(A/B)=h/b

Esempio: valutare la probabilità che il lancio di due dadi dia 10 sapendo che un dado ha dato 4.

Evento A: "fare 10 gettando due dadi";
Evento B: "un dado ha dato 4".

L'insieme universo U ha 36 eventi, tutte le possibili coppie di risultati del lancio di due dadi.
A={(4; 6); (6; 4); (5; 5)} è costituito da 3 eventi elementari;
B={(1; 4); (4; 1); (2; 4); (4; 2); (3; 4); (4; 3); (4; 4); (5; 4); (4; 5); (6; 4); (4; 6)} è costituito da 11 eventi elementari;
A intersezione

B={(4; 6); (6; 4)} è costituito da due eventi elementari.

Pertanto: p(A/B)=2/11 probabilità di fare 10 sapendo che un dado ha dato 4.

Osserva che in questo caso p(A/B)>p(A) poiché p(A)=3/36=1/12.

Ricordati che la probabilità di un evento A condizionata ad un altro evento B può essere maggiore o minore o uguale alla probabilità di A e quindi il verificarsi di B modifica la probabilità di A.

Inoltre la relazione p aperta la parentesi tonda a fratto b chiusa la parentesi tonda uguale a p aperta la parentesi tonda A intersezione di B chiusa la parentesi tonda tutto fratto p per B

si può anche trasformare in p(A intersezione

B)=p(A)

p(A/B)

Teorema di Bayes

Quanto sai adesso sulla probabilità ti permette di affrontare moltissimi problemi. Tra questi, quelli richiedenti la composizione di Vai all'approfondimento

eventi indipendenti e il teorema della Vai all'approfondimento

probabilità condizionata.

Ma spesso, quando si affronta l'analisi di un fenomeno, ci si chiede quale è la causa che lo ha generato. Per esempio, se nell'analisi di iscrizioni di un certo liceo si verifica una diminuzione di iscritti al primo anno (evento B), ci si chiede quale ne sia la causa più probabile: un cambiamento di interessi dei ragazzi (evento A₁) p(A₁/B), una cattiva gestione dell'istituto(evento A₂) p(A₂/B), una poca e scorretta informazione (evento A₃) p(A₃/B).

Per calcolare questo tipo di probabilità condizionata si deve usare il teorema di Bayes (anche detto della "probabilità della causa"):

Dato uno spazio campionario U e considerata una sua Vai al glossario

partizione in n sottoinsiemi A₁, A₂, ... A_n, che chiameremo cause, indica con B un evento non impossibile, che chiameremo effetto, allora la probabilità che l'evento B sia stato prodotto dalla causa A_i è

p aperta la parentesi tonda causa prima sull'evento chiusa la parentesi tonda uguale a p aperta la parentesi tonda evento fratto causa i chiusa la parentesi tonda moltiplicato per p aperta la parentesi tonda causa i chiusa la parentesi tonda tutto fratto p aperta la parentesi tonda evento fratto causa prima chiusa la parentesi tonda moltiplicato per p aperta la parentesi tonda causa prima chiusa la parentesi tonda più p aperta la parentesi tonda evento fratto causa seconda chiusa la parentesi tonda moltiplicato per p aperta la parentesi tonda causa seconda chiusa la parentesi tonda più etc etc più p aperta la parentesi tonda evento fratto causa ennesima chiusa la parentesi tonda moltiplicato per p aperta la parentesi tonda causa ennesima chiusa la parentesi tonda

Fai attenzione: dal teorema risulta che gli eventi A₁, A₂, ... A_n, sono tra loro incompatibili e le loro probabilità sono dette probabilità a priori.

Significato del Teorema di Bayes

Considera un evento B e supponi che esso possa essere generato dalla causa A₁ oppure dalla causa A₂, tra loro incompatibili.

Devi risolvere il seguente problema:
Supposto che sia verificato l'evento B qual è la probabilità che esso sia stato originato dalla causa A₁?

La soluzione di questo problema la ottieni ricorrendo alla formula di Bayes:

p aperta la parentesi tonda causa prima su evento chiusa la parentesi tonda uguale a p aperta la parentesi tonda evento fratto causa prima chiusa la parentesi tonda moltiplicato per p aperta la parentesi tonda causa prima chiusa la parentesi tonda tutto fratto p aperta la parentesi tonda evento fratto causa prima chiusa la parentesi tonda moltiplicato per p aperta la parentesi tonda causa prima chiusa la parentesi tonda più p aperta la parentesi tonda evento fratto causa seconda chiusa la parentesi tonda moltiplicato per p aperta la parentesi tonda causa seconda chiusa la parentesi tonda

dove:

p(A₁/B) indica la probabilità cercata;

p(A₁) è la probabilità che agisca la causa A₁;

p(A₂) è la probabilità che agisca la causa A₂;

p(B/A₁) è la probabilità che l'evento B si verifichi in dipendenza della causa A₁;

p(B/A₂) è la probabilità che l'evento B si verifichi in dipendenza della causa A₂;

p(A₁) p(B/A₁) è la probabilità che agisca la causa A₁ e che, condizionatamente a tale fatto, si verifichi B;

p(A₂) p(B/A₂) è la probabilità che agisca la causa A₂ e che, condizionatamente a tale fatto, si verifichi B.

Speranza matematica di una somma e giochi equi

L'origine del calcolo delle probabilità è legata ai giochi d'azzardo.

In molti casi è possibile, pur senza scommettere, individuare un modello del quale -in maniera ipotetica- a una cifra, non importa se positiva o negativa, si può dare il significato di vincita: il frutto di un investimento, una multa, un'assicurazione, le spese per un imprevisto sono tutti esempi di questo tipo.

Pertanto, viene definita speranza matematica di una somma S, positiva o negativa, ottenibile con probabilità p il prodotto p moltiplicato

S.

Esempio: Un soprammobile vale 2.000,00 euro. Si stima che durante un trasloco quel soprammobile si rompe con probabilità p=1/100. In questo caso, la speranza matematica connessa con l'evento "rottura del soprammobile", che causa una perdita di 2.000,00 euro è 1/100(-2000)=-20 euro.

Il concetto di speranza matematica può essere esteso. Viene definita speranza matematica di più somme S₁, S₂, ..., S_n, positive o negative, ciascuna ottenibile con probabilità rispettive p₁, p₂, ..., p_n, la somma p₁ moltiplicato

S₁+p₂

S₂+...+p_n moltiplicato

S_n.

Ricorda che la speranza matematica rappresenta il guadagno medio prevedibile in base al calcolo delle probabilità.

Da ciò segue il concetto di gioco equo:
un gioco si dice equo se è nulla la speranza matematica complessiva di ciascun giocatore.

Possiamo anche dire che un gioco tra due persone è equo quando le loro poste sono direttamente proporzionali alle loro probabilità di vincere.

Partizione

Divisione.

Nella teoria degli insiemi, una partizione di un insieme I è una collezione di sottoinsiemi di I non vuoti, mutuamente disgiunti e tali che la loro unione è l'insieme I stesso.

Nella teoria delle probabilità se gli eventi A₁, A₂, ... A_n costituiscono le possibili CAUSE dell'evento B, tali cause sono:

fra loro incompatibili (non è possibile che si verifichino contemporaneamente due eventi A_i, A_j, se ij);

ed "esaustive" (nessuna altra causa, al di fuori delle A_i, può generare l'evento B).

Etimologia della parola:
Dal Latino:
Partitio-onis.

Principali funzioni: Fine dell'approfondimento. Per riascoltarlo torna al titolo.

Eventi aleatori ed elementari

Un evento aleatorio è una proposizione relativa ad un esperimento aleatorio di cui non si conosce il valore di verità, esso definisce sempre un sottoinsieme dello spazio campionario U.

Per esempio, nel lancio di un dado è un evento aleatorio "esce il numero 3". In una interrogazione di matematica è un evento aleatorio "è interrogato Conti". In una sperimentazione di un farmaco è un evento aleatorio "il farmaco è efficace nel 50% dei casi".

Se l'insieme definito dall'evento aleatorio coincide con uno degli elementi dell'insieme U allora si parla dell'evento elementare.

Dunque, nell'estrazione di una carta da un mazzo di 40 è un evento elementare "esce il due di picche".

Fai attenzione non è invece un evento elementare "esce un due" perché, come ben sai, vi sono quattro carte raffiguranti un due.

Principali funzioni: Fine dell'approfondimento. Per riascoltarlo torna al titolo.

Composizione di eventi indipendenti

Esempio di problema risolvibile attraverso la composizione di eventi indipendenti:

Il 10% dei passeggeri dei voli non trova il suo bagaglio allo sbarco, l'80% dei treni in Italia è puntuale e il 20% degli aerei arriva in ritardo. Ti devi recare in treno all'aeroporto, dove c'è subito il tuo aereo in partenza.

Qual è la probabilità che tu prenda l'aereo (A), arrivi puntuale con l'aereo (B) e trovi il tuo bagaglio all'aeroporto (C)?

Per risolvere il problema devi comporre i tre eventi indipendenti A, B, C.

La formula da usare è p(A intersezione

C)=p(A)

p(B)

p(C), pertanto la probabilità cercata è p(A intersezione

C)=0,80

0,80

0,90=0,576=57,6%

Principali funzioni: Fine dell'approfondimento. Per riascoltarlo torna al titolo.

Teorema della probabilità condizionata

Esempio di problema risolvibile attraverso la composizione dell'assioma della somma e del teorema della probabilità condizionata:

Nella classe di Matteo ci sono 8 ragazze e 10 ragazzi; la professoressa di matematica ha portato due urne, contenenti palline colorate. Nella prima urna, riservata alle femmine, vi sono: 3 palline bianche, 1 rosse, 2 gialle. Nella seconda urna, riservata ai maschi, vi sono: 4 bianche, 3 rosse, 3 gialle. La professoressa estrae un nome a caso tra i 18 studenti e l'alunno/a estrae una pallina dall'urna che gli è riservata.

Qual è la probabilità di estrarre una pallina gialla?

Si tratta di un evento composto dagli eventi:
A="esce pallina gialla dell'urna delle ragazze"
B="esce pallina gialla dall'urna dei ragazzi"

la cui probabilità si calcola considerando l'assioma della somma p(A unione

B)=p(A)+p(B)

Ma gli eventi A e B sono eventi condizionati dall'estrazione del nome a caso di un alunno maschio o femmina da parte dell'insegnate, serve quindi il teorema della probabilità condizionata per calcolare rispettivamente le probabilità di A e di B, nella sua forma inversa p(E/F) moltiplicato

p(F)=p(E

F), mediante il quale trovi:
p uguale 8 diciottesimi per due sesti più dieci diciottesimi per tre decimi uguale quattro ventisettesimi più un sesto uguale diciassette cinquantaquattresimi uguale a 31,48 percento