Considera le proposizioni:
p: ''Parigi è capitale della Francia''
q: "Il Po è una montagna"
P è vera e q è falsa.

In generale, una proposizione che afferma categoricamente il vero o il falso si dice chiusa.

Considera adesso le proposizioni:
r: ''X dorme''
s: ''X è un fiume che sfocia nel mar Y ''

In r e s sono presenti le variabili X e Y.
Di queste due proposizioni non sono in grado di dire se affermano il vero o il falso, per poterlo fare devo sostituire una costante al posto delle incognite.

In generale una proposizione contenente almeno una variabile si dice aperta.
Si dice anche predicato. 
Nella proposizione r la variabile è una sola, la x, e r prende il nome di predicato unario e si indica con r(x).
Nella proposizione s le variabili sono due, pertanto essa  prende il nome di predicato binario e si indica con s(x,y).
Una proposizione è aperta se contiene delle incognite. Essa afferma soltanto una possibilità.

Quando le incognite presenti in una proposizione aperta vengono specificate, cioè trasformate in costanti, abbiamo una proposizione chiusa che o è vera o è falsa.
I valori che possiamo attribuire alle variabili devono appartenere a un particolare insieme, altrimenti la proposizione potrebbero non avere senso. Tale insieme prende il nome di insieme universo (U) o dominio della proposizione data.

Per esempio:
p(x):  "X è numero primo". L'insieme universo U non è altro che P, insieme dei numeri primi.
questa è una proposizione aperta: non posso dire se è vera o falsa, ma posso dire che è possibile. L'essere vera o falsa dipende dai valori che assume l'incognita X.

In particolare:

• se pongo X=3 la proposizione diventa "3 è numero primo", ed è una proposizione chiusa vera
• se pongo X=10 la proposizione diventa "10 è numero primo", ed è una proposizione chiusa falsa

Se devi operare con i quantificatori su proposizioni aperte restano valide le operazioni definite per le proposizioni chiuse.

Per esempio, voglio applicare la congiunzione  tra queste due proposizioni aperte: 

• :  ''X è maggiore di 5''
• : ''X è maggiore di 7''

Formalizzando, vogliamo analizzare 

Sappiamo che  risulta vera se e soltanto se e sono entrambi vere.
In questo caso la verità o falsità di e  dipende dal valore di X.

Se X = 4, la proposizione aperta  ''4 è maggiore di 5'' e ''4 è maggiore di 7'' diventa una proposizione chiusa falsa.

Consideriamo nell'universo N la proposizione P(x): ''X è un numero dispari''.

Ogni elemento dell'insieme dei numeri dispari rende la proposizione vera, ogni elemento dell'insieme dei numeri pari rende la proposizione falsa.

Si definisce insieme di verità di una proposizione l'insieme di tutti i valori scelti in un universo U che, sostituiti alla variabile, trasformano la proposizione in una proposizione vera.

Per esempio: P(x): ''X è un numero dispari''.
Possiamo affermare che P(x): "X è un numero dispari" con

• è vera per , con D insieme dei numeri dispari
• è falsa per , con P insieme dei numeri pari

Esistono due tipi di enunciati dichiarativi: ci sono enunciati come "è giorno" e altri che invece iniziano con espressioni del tipo: "qualcuno", "tutti", "nessuno".

Per esempio "qualcuno ha scritto Il teorema del pappagallo", oppure "tutti gli uomini sono mortali"
Queste strutture linguistiche vengono dette quantificatori.
Nella lingua naturale ne trovi diversi:

• "alcuni"
• "almeno uno"
• "qualche"
• "tutti"
• "ogni"
• "nessuno"
• "qualsiasi"

Attento! Quando usi ragionamenti che si servono di quantificatori, devi far entrare in gioco un diverso tipo di formalizzazione.
Il metodo che hai usato fino ad ora, basato su p e q, sugli operatori e le relative regole, va integrato.

L'integrazione da apportare è la logica dei predicati.

Partiamo da un esempio classico.
"Tutti gli uomini sono mortali. Socrate è un uomo. Dunque: Socrate è mortale".

Esamina gli enunciati "almeno un italiano è campione olimpionico" e "esiste almeno un numero primo minore di tre".

Il quantificatore esistenziale afferma l'esistenza di almeno un elemento che ha la proprietà esaminata; si rappresenta con il simbolo , che si legge ''Esiste almeno un''.

Per esempio, sia A = {1, 2, 3, 4, 6} l'insieme universo e P(x): "x è multiplo di due".
Puoi trasformare l'enunciato in una proposizione vera: 
è multiplo di due.

Significa che esiste almeno un elemento x in A che è multiplo di due.
Osservando l'insieme A dove è presente 4 possiamo affermare che la proposizione è vera.
Se vuoi dire che "esiste uno e uno solo" allora usa il simbolo .
Se vuoi dire che "non esiste" allora usa il simbolo  oppure il simbolo .

Esamina gli enunciati "Tutti i triangoli hanno tre lati" e "qualsiasi gatto miagola".
 
Il quantificatore universale afferma che ogni elemento dell'insieme universo gode della proprietà esaminata. Si rappresenta con il simbolo , che si legge "per ogni".

Per esempio, sia  A = {1, 2, 3, 4, 6} l'insieme universo e P(x): "x è multiplo di due".
Puoi trasformare l'enunciato in una proposizione falsa:

, x è multiplo di due

Significa che comunque scegliamo x in A, esso è multiplo di due.
Osservando l'insieme A e vedendo che comprende il numero 1 possiamo affermare che la proposizione è falsa.

• Una proposizione è aperta se contiene delle variabili, essa afferma soltanto
  una possibilità. Quando le variabili presenti in una proposizione aperta vengono
  specificate, cioè trasformate in costanti, abbiamo una proposizione chiusa che
  può essere vera o falsa
• Se devi operare con i quantificatori su predicati, restano valide le operazioni
  definite per le proposizioni chiuse
• Si definisce insieme di verità di una proposizione l'insieme di tutti i valori
  scelti in un universo U che, sostituiti alla variabile, trasformano la proposizione
  in una proposizione vera
• I quantificatori sono strutture linguistiche che trovi nella lingua naturale
• Il quantificatore esistenziale afferma l'esistenza di almeno un elemento che
  ha la proprietà esaminata
• Il quantificatore universale afferma che ogni elemento dell'insieme universo
  gode della proprietà esaminata
• Il quantificatore esistenziale, cioè e
  quello universale, cioè , sono gli unici
  quantificatori di cui si fa uso in logica

Parole nuove
Proposizione logica
Predicato
Quantificatori

Si definisce insieme di verità di una proposizione l'insieme di tutti i valori scelti in un universo U che, sostituiti alla variabile, trasformano la proposizione in una proposizione vera.

Per esempio, P(x): "X è un numero dispari".
Possiamo affermare che P(x): "X è un numero dispari" con

• è vera per con D insieme dei numeri dispari
• è falsa per con P insieme dei numeri pari