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Casi particolari nell'equazione di una retta

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Informazioni generali

Equazioni delle bisettrici dei quadranti di un piano cartesiano.
Equazioni degli assi cartesiani.
Equazioni di coppie di rette simmetriche rispetto agli assi cartesiani.
Equazioni delle rette parallele agli assi.

Rafforzare il concetto di retta come luogo geometrico di punti le cui coordinate "soddisfano" la relativa equazione.
Sottolineare il legame tra le proprietà geometriche di particolari rette e le relative equazioni.
Abituare al riconoscimento immediato dell'equazione di rette particolari.

Conoscenza del piano cartesiano.
Conoscenza dell'equazione generale in forma implicita ed esplicita delle rette per l'origine e delle rette qualsiasi.
Elementi minimi di geometria (concetto di angolo, parallelismo, perpendicolarità, proprietà del quadrato).

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Equazione generale di una retta


Sai già che l'equazione di una retta nel piano cartesiano può essere data nella forma implicita ax+by+c=0 (dove a,b,c sono numeri reali) oppure nella forma esplicita y=mx+q, dove m e q sono numeri reali detti rispettivamente Vai al glossario coefficiente angolare e Vai al glossario termine noto. La forma esplicita evidenzia chiaramente la relazione esistente tra le coordinate di tutti i punti della retta: ad esempio la retta di equazione y=3x-1 è l'insieme o Vai al glossario luogo geometrico di tutti i punti del piano cartesiano la cui ordinata (y) è uguale al triplo dell'ascissa (x) diminuito di 1.

su un sistema di assi cartesiani perpendicolari su una retta di colore blu, sono evidenziati i punti (0;-1) e (1;2) 

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Una equazione per la bisettrice


Ci sono rette particolari la cui equazione in forma esplicita si può facilmente ricavare dalla semplice osservazione del grafico e delle sue proprietà geometriche. Queste rette sono le Vai al glossario bisettrici dei quadranti del piano cartesiano. Osserva bene il grafico della prima bisettrice, quella del primo e terzo quadrante. È bisettrice, quindi "biseca" cioè divide a metà l'angolo retto. Se consideri un punto P(xP;yP) qualunque della retta e fai partire da P le perpendicolari agli assi si forma una figura geometrica facilmente riconoscibile: è il quadrato OPxPPy, che ha ovviamente tutti e quattro i lati uguali fra loro. Dunque il segmento OPy è uguale a yp che è uguale al segmento OPx che è uguale xp e quindi yP=xP. Naturalmente questo è vero per tutti i punti della retta, compresi quelli con coordinate negative, per i quali sarà il segmento OPy è uguale a meno yp che è uguale al segmento OPx che è uguale meno xp. Cambiando entrambi i segni si otterrà ancora yP=xP.

su un sistema di assi cartesiani perpendicolari è tracciata la retta di colore blu passante per l'origine e bisettrice del primo e del terzo quadrante. Preso un punto P sulla retta e tracciate le proiezioni sugli assi ottengo il quadrato OPxPy 

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Rette simmetriche


Nell'esercizio precedente hai osservato due Vai all'approfondimento rette simmetriche rispetto all'asse y ed anche all'asse x.
Hai potuto anche notare che i loro coefficienti angolari sono opposti.
Questo accade sempre nel caso di rette simmetriche rispetto agli assi cartesiani, anche se non passano per l'origine. Nelle due rette r e r', ad uno stesso valore di y devono corrispondere valori opposti di x. Deve cioè accadere che mx+1=m'(-x)+1, dunque mx=-m'x e infine m=-m', cioè i due coefficienti angolari devono essere opposti.
Se invece nelle rette s e s' imponi che allo stesso valore di x debbano corrispondere valori opposti di y avrai che mx+2=-(m'x-2) dunque mx+2=-m'x+2. Anche in questo caso m=-m'.

Due diversi riquadri in cui sono rappresentati due diversi piani cartesiani. Sul primo sono tracciate le due rette r r primo simmetriche rispetto all'asse delle y e si incontrano nel punto (0;1). Nel secondo riquadro sono tracciate le due rette s s primo, simmetriche rispetto all'asse delle x e si incontrano nel punto (2;0) 

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Forma esplicita e parallelismo

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La forma esplicita dell'equazione di una retta, oltre a tradurre chiaramente in linguaggio matematico la proprietà comune a tutti i punti della retta stessa, è molto utile anche per individuare subito rette parallele: infatti tutte le rette con lo stesso coefficiente angolare m si possono ottenere l'una dall'altra mediante una semplice Vai all'approfondimento traslazione.

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Forma esplicita e parallelismo


La forma esplicita dell'equazione di una retta, oltre a tradurre chiaramente in linguaggio matematico la proprietà comune a tutti i punti della retta stessa, è molto utile anche per individuare subito rette parallele: infatti tutte le rette con lo stesso coefficiente angolare m si possono ottenere l'una dall'altra mediante una semplice Vai all'approfondimento traslazione.

Su un piano con assi cartesiani, sono rappresentate due rette parallele con le rispettive equazioni. r (passante per l'origine): y uguale meno 2x e r primo: y uguale meno 2x più 4. Sono chiaramente indicate le coordinate dei punti P sulla retta r (1; -2) e P primo sulla retta r primo (1; 2). Viene quindi evidenziato come il coefficiente angolare della retta r primo, traslazione della retta r, sia uguale a quello d r m uguale meno 2  

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Una retta diversa


La forma esplicita dell'equazione di una retta non permette di rappresentare tutte le rette del piano. Considera ad esempio tutte le rette passanti per l'origine: sai che hanno un'equazione del tipo y=mx e che m varia al variare dell'Vai al glossario angolo orientato formato dalla retta con l'asse x. In particolare quando la retta r si sovrappone con l'asse x, accade che che m=0 e dunque l'equazione sarà y=0. Quando invece r si sovrappone all'asse y succede qualcosa di strano: m non esiste e la retta non può essere rappresentata da un'equazione del tipo y=mx.
Se vuoi approfondire il motivo di questi due casi particolari Vai all'approfondimento clicca qui.

Sono rappresentati quattro grafici con altrettanti esempi: Grafico 1: su un piano cartesiano e rappresentata una retta passante per l'origine e per (3; 0), sono evidenziate la sua equazione y uguale meno zero terzi x meno zero terzi e il suo coefficiente angolare M uguale zero terzi uguale zero primi; Grafico 2: su un piano cartesiano e rappresentata una retta passante per l'origine e per (3; 3), sono evidenziate la sua equazione y uguale un primo x meno zero primi e il suo coefficiente angolare M uguale tre terzi uguale un primo; Grafico 3: su un piano cartesiano e rappresentata una retta passante per l'origine e per (0; 5) M non esiste; Grafico 4: su un piano cartesiano e rappresentata una retta passante per l'origine e per (meno 4; meno 2), sono evidenziate la sua equazione y uguale meno un mezzo x meno quattro primi e il suo coefficiente angolare M uguale meno 2 fratto 4 uguale meno un mezzo 

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Parallele asse y


Come si fa allora a scrivere l'equazione della retta che coincide con l'asse y e di tutte le sue parallele? Ragioniamo osservando il grafico, ad esempio, della parallela all'asse y passante per il punto (4;0).
Che cosa hanno in comune tutti i punti di questa retta?
Osserva l'immagine: tutti i punti della retta hanno ascissa uguale a 4. In linguaggio matematico è x=4. Questa relazione non vale per nessun altro punto del piano, dunque possiamo dire che x=4 è proprio l'equazione della retta, cioè la proprietà comune a tutti e soli i punti della retta. È un'equazione in forma implicita, in cui a=1, b=0 e c=-4.

Possiamo generalizzare dicendo che una qualunque parallela all'asse y ha equazione ax+c=0 o più semplicemente x=k, dove k=-c/a.
Anche l'asse y ha un'equazione simile: x=0.

Su un sistema di assi cartesiani ortogonali è tracciata una retta di colore blu parallela all'asse y e passante per il primo e il quarto quadrante e avente x uguale 4. Sono evidenziati su questa i punti P (4;2) R(4;-1) e Q(4;-4) e quelli generati dalle loro proiezioni sull'asse y: P primo (0;2) R primo (0;-1) Q primo (0;-4) 

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Parallele asse x


Nel grafico 1, in "Una retta diversa", hai visto che la retta che si sovrappone all'asse x ha equazione y=0. Possiamo considerarla un'equazione in forma esplicita, in cui m=0 e q=0. E le sue parallele? Il coefficiente angolare è lo stesso, perché hanno la stessa inclinazione. Varia solo q, in corrispondenza dell'intersezione con l'asse y. Dunque l'equazione è semplicemente y=q. Possiamo scriverla anche nella forma implicita by+c=0 con q=-c/b.

Ad esempio la retta y=5 sarà l'insieme di tutti i punti del piano la cui ordinata è uguale a 5.

Su un sistema di assi cartesiani ortogonali è tracciata una retta di colore blu parallela all'asse x e passante per il primo e il secondo quadrante e avente y uguale 5. Sono evidenziati su questa i punti A(-7;5) B(-2;5) e C(3;5) e quelli generati dalle loro proiezioni sull'asse x: A primo (-7;0) B primo (-2;0) C primo (3;0) 

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Riconosci l'equazione

Due rette allo specchio

Riconosci le rette

Vero o falso 1

Vero o falso 2

Coefficiente angolare


Il coefficiente angolare, generalmente indicato con la lettera m, è il coefficiente del monomio contenente la x nell'equazione esplicita di una retta y= mx + q. L'aggettivo "angolare" si riferisce alla dipendenza di m dall'inclinazione della retta stessa, e in particolare dall'ampiezza dell'angolo che la retta forma con l'asse delle x.

Etimologia della parola:
Dal Latino:
Coefficiente: cum (con) efficientem (da efficere: far sì, produrre): numero che moltiplica una quantità algebrica, detto così poiché concorre assieme alla quantità algebrica a generare un solo prodotto.

Angolare (da angolo): angulus e (dal Greco) akgon: gomito, curvatura, seno.

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Termine noto


Il termine noto di un polinomio o di una equazione è il monomio di grado zero, che si riduce in definitiva ad un semplice numero.
Il termine noto è generalmente indicato con la lettera q nell'equazione esplicita di una retta y= mx + q. In questo caso corrisponde all'ordinata dell'intersezione della retta con l'asse y

Etimologia della parola:
Dal Latino:
Termine: termen parte estrema di una cosa. In matematica: espressione di una quantità, poiché esprimendo qualcosa la determina e la circoscrive.

Noto: notus (participio passato del verbo nòscere: conoscere): conosciuto, manifesto, chiaro.

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Luogo geometrico


Si dice Luogo geometrico, in particolare luogo geometrico di punti, l'insieme di tutti e soli i punti di un piano o dello spazio che godono della medesima proprietà geometrica.
Ad esempio:
  • la superficie sferica di centro C e raggio r è il luogo geometrico dei punti dello spazio che hanno distanza r dal punto C;

  • l'asse di un segmento AB è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno la stessa distanza da entrambi gli estremi A e B.

Etimologia della parola:
Dal Latino:
locus: posto, spazio che un corpo occupa o può occupare.

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Bisettrici dei quadranti (di un piano cartesiano)


La bisettrice di un angolo rÔs è una retta b passante per il punto O, che divide a metà l'angolo rÔs, in modo tale che l'angolo rÔb è congruente (uguale) all'angolo bÔs.

In particolare le bisettrici dei quadranti di un piano cartesiano dividono a metà i quadranti stessi (che a loro volta sono angoli retti): ciascuna di queste metà misura 45°.

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Angolo orientato


Un angolo aÔb formato dalle due semirette Oa e Ob uscenti dallo stesso punto O può essere "spazzato" in due sensi da un'ipotetica terza semiretta Oc: la semiretta Oc può percorrere l'angolo andando da Oa verso Ob oppure in senso opposto. Se si decide di fissare un verso di rotazione della semiretta Oc allora si decide di orientare l'angolo. In questo caso l'angolo orientato aÔb sarà diverso dall'angolo orientato bÔa.

Etimologia della parola:
Angolo: dal Latino angulus e ancora dal Greco akgon: gomito, curvatura, seno.

Orientato: da orientare: dare una direzione precisa a sua volta derivante dal latino orientem (participio presente di orior: nascere, sorgere).

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Simmetria assiale (nel piano)


Una simmetria assiale nel piano (o simmetria rispetto ad una retta r detta appunto asse) è una trasformazione che associa ad ogni punto P del piano un punto P' in modo tale che la retta r sia asse del segmento PP', cioè:
  • PP' è perpendicolare a r;

  • la distanza di P da r è uguale alla distanza di P' da r.

Una simmetria assiale è una isometria, cioè una trasformazione che mantiene inalterate tutte le caratteristiche "metriche" di una figura (lunghezza delle linee, ampiezza degli angoli), trasformando ogni figura piana in una figura congruente, cioè perfettamente sovrapponibile a quella di partenza.

un segmento obliguo AB viene traslato simmetricamente rispetto a un asse la retta r dando origine ad un secondo segmento A primo B primo e ai due punti sulla retta r H e K 

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Traslazione


Una traslazione è un movimento rigido (isometria) individuato da un vettore segmento orientato A verso B (segmento orientato da A verso B) che manda ogni punto P in un punto P' tale che il vettore segmento orientato P verso P primo e il vettore segmento orientato A verso B siano equipollenti, cioè abbiano stessa lunghezza (AB = PP'), stessa direzione (la retta AB è parallela alla retta PP') e verso concorde (stesso orientamento). Nell'esempio in figura il triangolo M'N'P' è stato ottenuto applicando al triangolo MNP la traslazione di vettore segmento orientato A verso B. Osserviamo che ABM'M è un parallelogramma, come pure ABN'N e ABP'P.

Nella stessa figura il vettore segmento orientato C verso D ha la stessa lunghezza ed è parallelo ad segmento orientato A verso B, ma ha verso discorde. 

triangolo M'N'P' ottenuto dalla traslazione di un segmento orientato AB dal triangolo di origine MNP  

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Tangente goniometrica di un angolo


In un piano cartesiano è fissata la retta t parallela all'asse y e passante per il punto (1;0). Presa una qualunque retta r (y=mx) passante per l'origine, questa retta intersecherà la retta t nel punto T(1;m). Il numero m, cioè l'ordinata del punto T, è detto tangente goniometrica dell'angolo orientato xÔr, cioè dell'angolo formato dall'asse x e dalla retta r, misurato in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle x. Quando la retta r coincide con l'asse x l'angolo xÔr è nullo (o piatto) e la sua intersezione con la retta t coincide con (1;0), dunque m=0.

Quando invece r coincide con l'asse y l'angolo xÔr è retto (o pari a tre angoli retti) e non esiste il punto di intersezione con t, poiché r e t sono parallele; dunque m non esiste.

Su un sistema di assi cartesiani è rappresentata una retta t parallela all'asse y e passante per il punto (1;0). Una retta r passante per l'origine interseca la retta t nel punto (1;m) detto tangente goniometrica dell'angolo orientato xOr 

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Riepilogo

Fine della pagina di uscita dal corso. Per riascoltarla torna al titolo.

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  1. In modalità lezione, presenta innanzitutto tutti i contenuti didattici. A ciascuna pagina possono essere associate una o più esercitazioni di verifica, accessibili tramite un apposito pulsante.
  2. In modalità gioco, invece, tutto cambia: inizia una sfida della conoscenza che, se tutto va bene, porta a concludere con successo la missione. Ma, attenzione, se non si raggiunge un minimo di punteggio e se non si è fatto accesso alle pagine teoriche, non è possibile nemmeno arrivare alla domanda finale.
    In modalità gioco, le pagine teoriche sono raggiungibili solo a partire delle pagine di test.

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  • Il percorso di verifica da affrontare.
Questo percorso è rappresentato da una sequenza di segnalini di diverso colore:
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  • Sono presenti comandi nascosti per disattivare fin dall'inizio i componenti audio, video e le animazioni che potrebbero interferire con i lettori di schermo.
  • Anche quando sono disabilitati, i contenuti multimediali si possono attivare, pagina per pagina, con comandi nascosti che permettono di procedere solo dopo aver terminato l'esplorazione della pagina.
  • I pulsanti di navigazione sono replicati da comandi nascosti attivi nelle diverse pagine.
  • Per le pagine il cui contenuto essenziale è costituito da animazioni interattive (come i test che prevedono il trascinamento di oggetti, chiamati anche "drag and drop"), il sistema passa automaticamente alle pagine alternative se verifica che i contenuti multimediali sono disabilitati o se non è installato il plugin Flash.

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Produzione editoriale


Garamond - Editoria e Formazione - Roma

Hanno collaborato

Progettazione didattica
Vindice Deplano

Ideazione e produzione storyboard e testi
MariaLuisa Izzo

Coordinamento disciplinare
Licia Cianfriglia

Redazione
Paola Ricci e Paolo Pomes (coordinamento), Katia Azzinari, Claudio Bafera, Martina Quadrino, Stefano Tura

Progettazione e realizzazione grafica
Cristiana Giovannini

Animazioni
Elisistemi S.r.l. (coordinamento)

Audio, musiche ed effetti sonori
Luca De Carlo, Gio Gio' Rapattoni, Loquendo TTS (voce)

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